프랙탈 [fractal]기하학 |

 

프랙탈 [fractal]기하학

 

차원분열도형이라고도 함.

자기유사성을 갖는 복잡한 기하도형의 한 종류.

프랙탈은 4각형·원·구 등의 고전기하, 즉 유클리드 기하학과는 다르다. 이들은 유클리드 기하 구성성분으로 설명할 수 없는 자연의 고르지 않은 현상이나 여러 불규칙 형태의 사물을 묘사할 수 있다. 프랙탈이라는 용어는 '파편의', '부서진'이라는 뜻의 라틴어 fractus에서 유래했는데, 폴란드 태생 수학자 베노이트 B. 만델브로트가 만들었다. 1975년에 소개된 이래 이 도형의 개념은 새로운 기하학 체계를 일으켜 수학뿐 아니라 물리화학·생리학·유체역학에 큰 영향을 끼쳤다. 모든 프랙탈이 자기유사는 아니지만 대부분이 이 특성을 나타낸다. 자기유사체란 구성 부분이 전체와 닮은 것이다. 불규칙적인 세부나 무늬가 점차적으로 더 작은 크기로 반복되고 순수하게 추상적인 것의 경우 무한히 계속 반복하여 각 부분의 부분을 확대하면 전체 물체와 근본적으로 같게 된다. 실제로 자기유사체는 크기를 바꾸어도 변하지 않는다. 즉 크기에 대해 대칭을 이룬다. 프랙탈 현상은 눈송이와 나무껍질 같은 물체에서 쉽게 볼 수 있다. 수학적 프랙탈이나 이러한 자연현상의 프랙탈은 통계적이거나 임의적이다. 따라서 크기는 통계적인 의미로 잰다. 프랙탈은 모양이 불규칙하므로 유클리드 도형의 평행이동대칭이 아니다(만일 그러한 도형이 자체 회전하면 이는 변하지 않음).

프랙탈의 다른 특성은 프랙탈 차원이라는 수학적 매개변수인데, 이는 물체를 확대하거나 보는 각을 바꾸는 정도에 관계없는 프랙탈의 특성이다. 유클리드 차원과는 다르게 프랙탈 차원은 대개 정수가 아닌 분수로 나타난다. 프랙탈 차원은 프랙탈곡선을 살펴보면 이해가 쉽다. 작도의 각 단계에서 이런 곡선의 길이는 4：3의 비율로 커진다고 하면 차원 D는 4가 되는 3의 거듭제곱수, 즉 3D=4를 나타낸다. 프랙탈곡선을 특징짓는 차원은 이처럼 log4/log3, 즉 약 1.26이다. 프랙탈 차원은 도형의 미묘한 차이 및 비유클리드 도형의 복잡성을 정확히 나타낸다. 자기유사 및 비정수 차원의 개념이 있는 프랙탈기하는 통계역학에서, 특히 임의적인 특성을 가지는 물리계에서 점점 더 응용된다. 프랙탈 모의실험은 우주의 은하계 집단분포를 나타내거나 유체 난류에 관한 문제를 연구하는 데 이용된다. 프랙탈기하는 컴퓨터그래픽에도 크게 기여했다. 프랙탈 알고리즘으로 울퉁불퉁한 산의 지세나 정교한 나뭇가지와 같이 매우 복잡하고 불규칙한 자연물을 실물 그대로 그려낼 수 있게 되었다.