[스크랩] 중력의 수학적 해석과 특이점(singuiarity)

중력이란 물리학적으로 질량에 의해 생기는 자연계의 기본적인 4가지 힘중 하나이다.
이것을 매개하는 중력자(중력자는 광자와 같이 질량이 없으며 광속으로 움직이는
전하가 없는 입자이며, 항성과 같이 극히 질량이 큰 물체가 크게 가속할 때만 방출
된다. 중력자가 그것의 반입자와 동등하다는 것은 명백하기 때문에 반중력은 의심
스러운 개념이다.)가 존재할거라고 생각하는 사람들도 있지만 발견된 적은 없다.
1986년도에 반중력을 지상 4만피트 상공에서 관측했다는 것이 해외토픽에 실린 적
은 있지만 그 이후에 다른 발표는 없었다.

중력을 기하학적으로 해석하면 전혀 힘의 도입없이 설명할 수 있다. 팽팽한 고무판
에 구슬을 올려 놓아보자. 그러면 구슬의 크기나 질량에 따라 다른 깊이로 홀(hole)
을 만들 것이다. 그러면 그 주위를 움직이는 것들은 수학에서의 측지선(구부릴 수
있는 자를 표면에 밀착시켜 자를 따라 그은 선)을 따라 움직이면서 휘기도하고 빨려
들어가기도 한다. 그래서 수학의 기하학에서는 힘이 아닌 곡률의 차이로써 중력을
나타낼 수 있다.

그러나, 물리에서 질점(역학적으로, 크기가 없고 질량(質量)만 있다고 가상(假想)
하는 점. 물체의 질량이 모두 집결하였다고 간주하는 점인데, 물체의 운동을 설명
할 때 쓰이는 개념임)을 도입하여 여러 가지 물리현상을 설명한다면 질점을 포함하
는 공간과 포함하지 않는 공간과는 차이가 생기게 된다. 공간을 2차원 곡면이라고
생각한다면 질점을 포함하여 삼각형을 그리면 내각의 합이 180도가 되지 않는다는
것이다. 어떻게 하던지 질점을 삼각형의 내부에 두지않고 삼각형을 그리면 내각의
합이 180도가 된다.

그래서 질점은 블랙혹의 중심과 같은 혹은 빅뱅 초기의 중심과 같은 특이점(singular
point)이 된다는 것이다. 어쩌면 특이점에서 시공이 연속하지 않는 특성(블랙홀이나
빅뱅에서 처럼)을 나타낼 지도 모른다. 그래서 특이점을 포함하는 계와 그렇지 않은
계는 동일한 방정식을 적용할 수 없다. 그래서 우리는 특이점이 포함된 계에서의 적
분은 특이점을 교묘히 피하는 방식으로 계산할 수 밖에 없다. 이렇게 말하면 이상한
이야기일지 모르겠지만 모래 한알이 있어도 이것의 질점을 포함하는 물리적인 계산
은 블랙홀의 질점을 포함하는 계산과 다르지 않은 일이 될 수 있다.

특이점에 관해서 예를 들어 구는 표면의 어느 부분에서 삼각형을 그려도 3각의 합이
180도 보다 크지만 원뿔은 꼭지점을 포함하지 않으면 삼각형이 모두 180도이다.  
꼭지점을 포함할 때만 180도가 아니다. 이때 꼭지점이 특이점이 된다. 질점은 특이점
이다. 특이점을 포함할 때와 포함하지 않을 때는 다른 공간이 되는 것이다.
이것은 질점의 주위의 공간과의 단절과 불연속되는 결과를 불러 오는데 계산의 편이
를 위해 도입하는 질점으로 우리가 시간과 공간에 대해 잘못된 이해를 가져오게 되어
서는 안되는 것이다. 이경우 계산은 계산으로 시공의 이해는 시공의 이해로 각각 따로
생각하여야 한다고 본다.

우리가 지금의 우주에서 singularity 로 생각하는 유일의 대상은 black hole 이라고 볼
수 있는데 그 이유는 빛을 삼켜 버리는 성질때문이 아닌가라고 본다. 뉴튼이 지구탈출
속도를 계산하면서 지구와 동일한 질량의 행성에서 빛이 탈출할 수 없는 반경을 계산
한 적이 있는데, 빛이라는 존재가 갖는 속도가 특이한 성질을 갖기 때문이 아닌가 본다.

그래서 빛은 항상 일정한 속도로 움직이며(물론 속도가 달라지는 경우가 있으나 그것
은 우리가 관측할 때이고 빛의 입장에선 동일하다고 본다,) 우리는 처음부터 빛을 매개
로 관측했기 때문에 빛을 빨아 들이는 거대 중력에선 빛이 더이상 표준잣대의 역할을
할 수 없을 거라고 생각한다.

어쨋거나 질점을 가지고 풀어 나가는 물리적 문제들은 블랙홀에 비해 그 점을 중심으로
하는 왜곡이 적긴 하지만 질점을 생각하지 않는 우리의 공간에 대한 이해와 판단, 사고에
는 차이를 보일 수 밖에 없다. 그러니까 전체적으론 같더라도 부분적인 면은 꽤 다르다라
할 수 있다. 우리가 수식을 통하여 물리학을 발전시켜 왔지만 그 수식이 물리학을 혹은
우주를 그릇되게 이해하도록 자연스럽게 인도할지도 모른다.

출처 : 모두를 위한 정의

글쓴이 : 그냥가보는거야 원글보기

메모 : [본문스크랩] 세상의 비밀은 ‘수(數)’에 있다게시판

2014/03/25 19:51

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수학자이자 신비주의자로 활동했던 고대 그리스의 피타고라스(기원전 572~497)는 만물의 원리가 ‘수(數)’로 이루어져 있다고 주장했다. 이 세상 무엇이든 숫자로 표현할 수 있다는 것이다. ▲ 수학의 본질을 파헤치는 연속 강연 '지식콘서트 카오스(KAOS)'의 첫 번째 주자는 김민형 영국 옥스퍼드대 교수가 맡았다. ⓒ인터파크 피타고라스 학파는 음악도 건축물도 자연생태계도 그리고 밤하늘에 떠 있는 별과 달의 움직임도 모두 수를 이용해 설명하고 표현할 수 있다고 여겼다. 덕분에 ‘수학적 증명’의 개념을 출발시키고 산술학과 기하학을 이용해 누구도 부정할 수 없는 진리의 토대를 세웠다. 그렇다면 수학적 증명의 본질을 이루는 ‘수’는 어떻게 정의하고 설명할 수 있을까. 2012년 시작된 ‘지식콘서트 카오스(KAOS)’가 올해는 수학의 본질을 파헤치는 연속 강연을 시작했다. 전 세계 수학자 5천여 명이 모여 오는 8월 13일 개막하는 ‘2014 서울 세계수학자대회(ICM)’의 유치를 축하하기 위함이다. 5회로 예정된 ‘수학의 본질’ 강연의 첫 번째 주자는 영국 옥스퍼드대학교의 김민형 교수가 맡았다. 지난 21일 서울 대학로 홍익아트센터에서 열린 김 교수의 강연회 ‘수학의 본질: 수(Number)’에는 700여 명의 학생과 일반인이 참석했다. ‘연산’에 의해 드러나는 ‘수’의 비밀 “수(數)란 무엇일까요? 수를 수학적으로 어떻게 정의할 수 있을까요?” 김 교수의 질문에 객석이 쥐죽은 듯 조용해졌다. 단순하지만 대답하기 쉽지 않은 질문이다. 사전에서는 “사물의 양, 크기, 순서를 세거나 헤아리는 기호”라 설명하기도 하고 “정수, 자연수, 실수, 유리수, 복소수 등으로 나뉜다”고 덧붙이기도 한다. 그러나 수학적인 정의로는 부족하다. 누군가 객석에서 “더하고 곱하고 빼는 것”이라고 대답하자 김민형 교수의 표정이 밝아진다. 수의 특성과 비밀은 ‘연산(operations)’을 통해 드러나기 때문이다. 연산은 흔히들 종이에 숫자를 적어가며 합과 곱을 계산하는 행위로 생각하기 쉽다. 그러나 이외에도 크게 4가지의 연산이 더 있다. △컴퓨터 코드의 연산 △곡선의 연산 △곡면의 연산 △입자의 연산 등이다. 우선 컴퓨터 코드의 연산은 이진법을 기반으로 하는 계산법이다. 0과 1의 두 가지 숫자로 표현되는 이진법에서는 더하기 연산을 할 때 기존의 십진법과는 다른 새로운 규칙이 적용된다. ‘0 더하기 0은 0’, ‘0 더하기 1은 1’, ‘1 더하기 1은 0’이다. 이진법의 곱하기 규칙도 있다. ‘0 곱하기 0은 0’, ‘0 곱하기 1은 1’, ‘1 곱하기 1은 1’이다. 그러나 자릿수가 늘어나면 계산이 복잡해진다. 100101 곱하기 110010는? 이진법을 개발한 사람은 독일의 수학자 겸 철학자 라이프니츠(Gottfried Leibniz, 1646~1716)다. 그러나 컴퓨터를 발명해 본격적으로 이진법을 사용한 것은 얼마 되지 않았으며, 더구나 긴 자릿수의 이진법 코드를 곱하고 더하는 연산법은 최근에서야 가능해졌다. 나머지 연산도 현대 문명의 업적으로 완성되었다. 곡선 상에 위치한 두 점을 더하거나 곱한 값을 해당 곡선 위에 표시하는 ‘곡선 연산법’ 그리고 도넛 형태의 곡면을 더했을 때 그 결과값을 다시 3차원 이미지로 표현하는 ‘곡면 연산법’이 정교해진 것도 최근의 일이다. 연산의 최고봉은 ‘입자 연산법’이라 할 수 있다. 만물을 구성하는 분자와 그보다 작은 원자핵과 전자까지도 계산에 사용 가능하다. 대표적으로는 ‘쌍소멸(pair annihilation)’을 꼽는다. ▲ 김민형 교수의 강연회에는 700여 명의 학생과 일반인이 모여 지식에 대한 욕구를 불태웠다. ⓒ임동욱 만물을 컴퓨터로 만들어버린 ‘입자 연산법’ 전자(electron) 하나와 양전자(positron) 하나를 충돌시키면 하나의 광자(photon)가 탄생한다. 입자와 반입자가 충돌했을 때 질량이 소멸하면서 그에 해당하는 에너지를 방출하는 것이 쌍소멸 현상이다. 참고로 양전자는 양(+)의 전하를 가짐으로 전자와 반대 성질을 보이는 입자다. 쌍소멸은 입자를 이용해 덧셈 연산을 해서 결과값을 산출하는 일종의 덧셈 계산 프로그램이다. 인터넷에서 ‘파인만 도식(Feynman Diagram)’으로 검색하면 다양한 쌍소멸 계산법을 접할 수 있다. 그렇다면 입자의 곱셈도 가능할까? 양자역학을 설명할 때 자주 사용되는 ‘이중 슬릿 통과 실험’이 해답이다. 두 개의 넓은 칼날을 붙이고 그 간격을 아주 좁게 설정한 장치를 ‘슬릿(slit)’이라 부른다. 하나의 틈새를 가진 슬릿에 광자를 발사하면 그 뒷벽에 넓게 퍼진 자국이 생긴다. 광자가 입자라면 틈새를 빠져나온 입자에 의해 하나의 구멍만이 생기는 것이 정상이다. 자국이 넓게 퍼졌다는 것은 빛이 파동의 형태를 띤다는 의미다. 양자역학의 원리를 설명할 때 자주 사용되는 실험이다. 이번에는 두 개의 슬릿을 겹쳐서 설치한다. 제1슬릿은 틈이 하나, 제2슬릿은 틈이 둘이다. 파동의 형태로 제1슬릿을 빠져나온 광자는 제2슬릿을 지나면서 2개의 파동으로 갈라진다. 그러면 뒷벽에는 2개의 파동이 각각 자국을 남긴다. 이것이 입자의 곱셈 계산법이다. 생물, 무생물 할 것 없이 만물의 기본 요소는 입자로 이루어져 있다. 입자로도 연산이 가능하다면 이 세상 자체가 거대한 컴퓨터 프로그램이라는 상상도 설득력을 얻는다. 이를 이용해 최근에는 ‘정보물리학’이라는 분야도 생겨났다. 결국 수는 무엇일까. 수를 어떻게 정의할 수 있을까. 반복되는 김 교수의 질문에 다른 관객이 해답을 내놓았다. “모든 것이 수다.” 만물의 원리를 수로 표현했던 피타고라스의 혜안이 맞았던 것이다. 수학은 머릿속 또는 컴퓨터 내부처럼 가상의 세계에 존재하는 것이 아니라 이 세상 자체를 구성하고 진행시키는 기본 원리인 셈이다. 강연 후에는 세계적인 수학자로 살아가는 김민형 교수의 일상과 생각에 대해 이야기를 나누는 토크쇼가 진행되어 관객의 궁금증을 채워주었다. ‘지식콘서트 카오스(KAOS)’는 수학의 본질을 소재로 올해 총 5회에 걸쳐 진행될 예정이다.

관련링크 | master-ludi.com/gate/kaos/HTML/main.html 임동욱 객원기자 | im.dong.uk@gmail.com 저작권자 2014.03.25 ⓒ ScienceTimes [출처] [본문스크랩] 세상의 비밀은 ‘수(數)’에 있다|작성자 voltaire