자연물(自然物) 관련 / 나선운동/무게중심 2013/03/28 16:27
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스핀양자수을 어떤 기준으로 (+)와 (-)로 정하느냐에 대한 글입니다. 수식으로 표현하는 것은 제 능력밖에 있으며, 제가 이해하는 수준에서 작성되었습니다. 잘못된 표현이 발견되면 수정하겠습니다.
먼저 양자(量子, quantum)에 대해서 이해를 해야 하는데요, 양자는 에너지와 운동량 같은 물리적인 양이 알맹이처럼 끊어져 나오는 최소단위를 말합니다. 마치 물질이 원자나 분자가 작은 알맹이들로 이루어져 "셀 수 있는 작은 덩어리"로 인식하는 것처럼.
예를 들어, 위와 같은 인도(人道)가 있어, 계단으로도 걸을 수 있고 가운데 위치한 경사로(傾斜路)로도 걸을 수 있다면 양측면에 위치한 계단(초록색)을 통해 걷는 것을 "양자화"되었다고 표현할 수 있을 것입니다.
양자수란 원자내에 위치하는 전자의 상태에 대한 것으로, 아래 4가지 양자수 값에 의해 원자내의 전자 상태가 결정됩니다.
1. 주양자수(主量子數, principal quantum number)
2. 방위양자수(方位量子數, azimuth quantum number)
3. 자기양자수(磁氣量子數, magnetic quantum number)
4. 스핀양자수(─量子數, spin quantum number)
에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schrodinger)
슈뢰딩거 방정식을 푸는 과정에서 3개의 양자수가 나오는데, 원자 스펙트럼의 어떤 부분을 해석하기 위해서는 4번째 양자수의 도입이 필요했다고 합니다. 그래서 파올리 배타의 원리(-排他原理, Pauli exclusion principle)를 만족시키기 위하여 전자가 실제로 자전을 한다는 증거는 없지만 '전하를 띤 입자가 자기장의 영향을 받는다는 것은 회전을 한다'고 생각하여 '돌다', '회전하다'라는 의미의 스핀(spin)이라는 용어를 도입합니다.
예를들어 주양자수, 방위양자수, 자기양자수가 동일할 경우 전자가 2개 들어갈 수 있는데, 2개는 (+)1/2과 (-)1/2로 표현되는 스핀양자수입니다. 스핀이 (+)1/2인 전자와 (-)1/2인 전자는 에너지 레벨이 달라서 스핀이 +1/2(up spin, ↑)인 전자가 먼저 오비탈( orbital)에 들어가고, -1/2(down spin, ↓)이 나중에 들어갑니다.
그럼, 실제 어떤 경우를 (+)1/2이라 하고, 어떤 경우를 (-)1/2이라고 하는가? 이것을 알기 위해서는 1922년에 행해진 슈테른-게를라흐(Stern-Gerlach)실험을 이해해야 합니다.
A : 가마(노爐, furnace), B : 작은 틈새, C : 비균일 자기장을 만드는 전자석, D : silver atoms beam, E : 사진건판
- 자기장이 없을 경우 : 가
- 자기장이 있을 경우 : 나(고전적인 예상), 다(실험결과)
실험방법은 대략 아래와 같습니다.
1. 가마에서 은(Ag)을 기화(氣化, vaporization)시키고[위 그림 A]
2. 기화된 은(Ag)의 증기안에 있는 원자 일부가 가마벽에 위치한 좁은 틈인 슬릿(slit)을 통과하게 하여 원자빔(atomic beam)을 만들어[위 그림 B]
3. 원자빔과 수직방향인 비균일 자기장을 만드는 전자석을 통과하게 하고[위 그림 C]
4. 사진건판에 은(Ag) 원자가 증착(蒸着, evaporation)되는 것을 관찰[위 그림 E]
예상되는 실험결과는 "(자기쌍극자가 연속적인 값들을 가져서) 연속적으로 공간에 분포될 것이다"이었습니다. [위 그림 나]
그러나 실험결과는
1. 전자석을 끄면
- 사진건판에 증착된 은(Ag)이 자기장방향과 직각 방향의 선형 무늬 형성[위 그림 가]
2. 전자석을 켜면
- 사진건판에 증착된 은(Ag)이 자기장방향과 같은 방향으로 퍼진 무늬 형성[위 그림 다]
이런 결과는 은원자가 전자석의 고르지 않은 수직 방향의 자기장을 통과할 때 자기쌍극자(磁氣雙極子, magnetic dipole) 때문에 수직 방향의 자기력을 받아 일어난 것입니다. 은원자의 자기 모멘트(磁氣-, magnetic moment)가 덩어리져 행동하는 - 즉, 양자화되어 있다는 - 것을 실험적으로 입증한 것입니다.
이런 현상에 대하여 1925년에 조지 울렌벡(George Uhlenbeck)과 사무엘 구드스미트(Samuel Goudsmit)는 "전자에는 궤도 각운동량 외에도 스핀 각운동량(spin momentum)이 존재하며, 스핀 각운동량은 전자 그 자체의 고유한 성질이며, 전자의 특정한 운동에 따른 결과가 아니다"고 설명합니다.
즉, "스핀 각운동량이라는 고유한 각운동량의 성분이 +1/2h 또는 -1/2h의 양자화된 값을 갖는다"고 제안합니다.(h는 플랑크상수(Planck constant)로, 에너지가 덩어리져서 알맹이처럼 작용하는 최소 단위입니다.)
비유하면 아래와 같습니다.
1. 지구위에서 도는 팽이의 회전축은 아무런 방향이 아닌, 2가지 방향의 회전축을 가지고 있으며,
2. 팽이의 회전축 방향에 따라서 그 회전수(전자의 경우 전자가 방출하는 광자(光子, photon)의 진동수)가 아주 조금 다르다.
3. 따라서 지구의 북반구와 남반구에서 돌고 있는 (팽이의 무게와 회전방향이 같지만) 회전축이 다른 팽이는 다른 팽이이다.
(최근 물리학에서는 "스핀(spin)은 입자의 각운동량에서 궤도 각운동량을 제외한 나머지 부분이며, 실제로 입자는 어떤 축을 중심으로 고전적으로 회전하지 않는다"고 인식한다고 합니다.)
전자(電子, electron)의 스핀에서 +1/2과 -1/2을 알기 위해서는 아래 2가지를 이해하고 있어야 합니다.
첫째
전자가 회전을 하면 전류가 흐르고, 전류가 흐르면 자기장이 형성되므로 하나의 전자를 작은 자석으로 생각할 수 있습니다.
위 왼쪽그림과 같은 방향으로 전자가 돌고 있을 경우, 보는 방향에 따라서 시계방향과 시계반대방향이라고 달리 말할 수 있습니다. 따라서 왼쪽 그림의 회전방향을 시계(반대)방향으로 표현하는 것은 다소 불완전합니다.
이 경우 오른손을 사용하여
- 엄지를 제외한 4손가락으로 회전방향과 동일하게 일치시킬 때
- 엄지손가락이 가리키는 방향이 위[上]이므로,
"회전방향이 위[上]"라고 표현할 수 있습니다.
위 왼쪽그림처럼 전자의 회전방향이'위[上]'인 경우 전류는 위 오른쪽 그림의 화살표 방향으로 형성됩니다. 전류가 흐르면 자기장이 형성되는데, 그 극성의 방향은 앙페르의 (오른손의) 법칙(Ampere's law)에 의해서 아래방향이 N극, 위 방향이 S극이 됩니다.
둘째.
균일 자기장과 비균일(non-uniform) 자기장에 대해 알아야 합니다.
왼쪽 그림 : 균일 자기장, 오른쪽 그림 : 비균일 자기장
균일 자기장의 세기와 방향은
- 방향은 N극에서 S극을 향하며,
- 세기는 동일하므로, 화살표의 크기가 같다고 표현할 수 있습니다.
그러나 비균일 자기장의 세기와 방향은
- 방향은 N극에서 S극을 향하며,
- 세기는 N극 < S극입니다. 따라서 S극 방향 화살표 크기는 크고, N극 방향 화살표 크기는 작다고 표현 할 수 있습니다.
N극과 S극을 통과하는 입자(예 : 전자)의 경우 - 하나의 작은 자석이라고 가정하면 - 균일 자기장을 통과하는 경우와 비균일 자기장을 통과할 때는 차이가 발생합니다.
균일 자기장을 통과할 경우
(L)에서 (R)방향으로 전자가 균일한 자기장을 통과 할 경우
왼쪽 그림
- 전자석의 N극과 S극에서 작용하는 척력의 크기(위 그림 녹색 화살표)가 동일합니다.
오른쪽 그림
- 전자석의 N극와 S극에서 작용하는 인력의 크기(위 그림 녹색 화살표)가 동일합니다.
따라서 전자석을 통과하는 전자는 그 방향이 변화하지 않고 직진/병진합니다.
비균일 자기장을 통과할 경우
(L)에서 (R)방향으로 전자가 비균일한 자기장을 통과할 경우
왼쪽 그림
- 전자석 S극에서 척력(크고 진한 녹색화살표)이 전자석 N극에서 척력보다 크므로 (L)에서 (R) 방향으로 이동중 전자는 위[上]방향으로 올라갑니다.
- 아래 그림의 오른쪽 (-)1/2, down spin
오른쪽 그림
- 전자석 S극에서 인력(크고 진한 녹색화살표)이 전자석 N극에서 인력보다 크므로 (L)에서 (R) 방향으로 이동중 전자는 아래[下]로 내려갑니다.
- 아래그림의 왼쪽 (+)1/2, up spin
전자의 스핀 축을 기준축을 향하여 수직으로 내리는 투영(投影, projection)을 하여(녹색 점선 화살표) 그 방향을 정할 수 있으며, 투영된 (+)1/2과 (-)1/2의 각운동량 차이는 1이라고 이해할 수 있습니다. 실제로 자기장 속의 원자들이 방출하는 스펙트럼을 분석하면, 전자의 스핀이 위에서 아래로 뒤집힐 때 전자의 에너지가 조금씩 달라지는 사실을 확인 할 수 있다고 합니다.
수원에서 了凡
1. 참고한 사이트 및 블로그
- GrandValley state University
- Angular momentum in Quantum Mechanics
2. 참고도서
- 양자 역학의 세계, 곽영직 지음 동녘, 2008
- 양자 세계 여행자를 위한 안내서, 케네스 W. 포드 지음 ; 김명남 옮김, 바다출판사, 2008
- 이상한 나라의 양자역학, DANIEL F.STYER 저, 조길호 역, 북스힐, 2005
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